Home | Autentificare     
Experior Logo

Asupra unor probleme de teoria grupurilor


Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
În aceasta nota vom prezenta unele rezultate din teoria grupurilor, insistând asupra teoremei lui Lagrange si asupra notiunii de ordin al unui element într-un grup finit, iar apoi vom rezolva 7 probleme de grupuri finite abeliene aplicand aceste doua rezultate. Remarcam faptul ca vom prezenta teorema lui Lagrange evitând notiunile de relatie de echivalenta si multime factor, care sunt incomode pentru o mare parte din elevi.
Domenii: Grupuri

Asupra unor probleme de teoria grupurilor

În această notă vom prezenta unele rezultate din teoria grupurilor, insistând asupra teoremei lui Lagrange şi asupra noţiunii de ordin al unui element într-un grup finit, iar apoi vom rezolva câteva probleme în legătură cu aceste două rezultate.

Remarcăm faptul că vom prezenta teorema lui Lagrange evitând noţiunile de relaţie de echivalenţă şi mulţime factor, care sunt incomode pentru o mare parte din elevi.

1.1. Reamintim că, dacă Math formula este o mulţime nevidă pe care s-a definit o lege de compoziţie notată multiplicativ, Math formula, Math formula Math formula, atunci dubletul Math formula se numeşte grupoid.

1.2. Grupoidul Math formula se numeşte grup, dacă operaţia Math formula este asociativă, admite element neutru şi orice element al lui Math formulaeste inversabil, adică sunt verificate axiomele grupului:

(A) Math formula

(N) Math formulaaşa încât Math formulaMath formula

(S) Math formula, Math formulaMath formula aşa încât Math formulaMath formula Math formulaMath formula Math formula

Dacă, în plus, operaţia Math formula este comutativă, adică:

(C) Math formula Math formula Math formula , Math formula, atunci grupul Math formula se numeşte grup comutativ (abelian).

Observaţia 1: Dacă Math formula şi Math formula Math formula Math formula, atunci se spune că Math formula şi Math formula sunt permutabile (comută între ele).

Observaţia 2: Un grup este finit dacă mulţimea sa subiacentă este finită.

1.3. În grupul Math formula se pot construi puterile întregi ale unui element Math formula, punând:

Math formula Math formula

În plus, pentru orice Math formula au loc egalităţile:

Math formula Math formula Math formula

Math formula

Math formula


Pagina 1 din 7 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Materiale Didactice Asemanatoare


Bullet Doua probleme de grupuri

Bibliografie


1. Probleme de structuri algebrice - Nastasescu C., Tena M., Otarasanu I., Andrei Gh. - Editura: Academiei Romane - Bucuresti (anul 1988)
2. Semigrupuri, aplicatii - Nastasescu C., Otarasanu I. - Editura: Militara - Bucuresti (anul 1995)