Polinoame ireductibile, descompunerea in factori ireductibili
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti intr-un corp. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom in factori ireductibili: existenta si unicitatea descompunerii. Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor complexe. . Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor reale. Aplicatii.
Domenii: Polinoame
POLINOAME IREDUCTIBILE.
DESCOMPUNEREA POLINOAMELOR ÎN
FACTORI IREDUCTIBILI
Fie  un corp şi  inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţi în  . Polinoamele inversabile din  coincid cu elementele nenule din  .
Definiţie: Un polinom  cu  se numeşte ireductibil peste  dacă nu există  cu  şi  astfel încât  .
Observăm că polinomul  cu  este ireductibil peste  dacă singurii săi divizori sunt constantele  şi polinoamele  . Cu alte cuvinte, un polinom  nenul şi neinversabil din  este ireductibil dacă din  rezultă  sau  .
Definiţie: Un polinom din  de grad  care nu este ireductibil se numeşte reductibil peste  .
Observaţie: Dacă un polinom  din  este ireductibil, respectiv reductibil, atunci  este ireductibil, respectiv reductibil peste  , oricare ar fi  .
Exemple:
1) Orice polinom de gradul întâi  , din  este ireductibil peste  .
2) Polinoamele de grad  sau  din  sunt ireductibile peste  dacă şi numai dacă nu au rădăcini în  .
Într-adevăr, dacă  este un polinom din  cu  şi  este o rădăcină a lui  , atunci conform teoremei lui Bezout,  şi  . Deci  este reductibil peste  . Invers, fie  un polinom de grad  sau  şi să presupunem că  este reductibil. Atunci  are neapărat un divizor de gradul întâi  cu  . Rădăcina  a lui  va fi şi rădăcină a lui  .
3) Polinomul  este ireductibil peste  . Dacă  ar fi reductibil, el ar avea rădăcini în  . Fie atunci  astfel încât  . Deci  , de unde  , contradicţie. Printr-un raţionament asemănător, rezultă că polinomul  este ireductibil peste  .
Totuşi polinoamele  şi  sunt reductibile peste  .
Într-adevăr, în  avem:  şi 
 .
|