Polinoame ireductibile, descompunerea in factori ireductibili Autor: Dana Schiopu Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate . Polinoame cu coeficienti intr-un corp. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom in factori ireductibili: existenta si unicitatea descompunerii. Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor complexe. . Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor reale. Aplicatii. Domenii: Polinoame
4) Polinomul este ireductibil peste corpul .
Într-adevăr, şi deci nu are rădăcini în . La fel, polinomul neavând rădăcini din , este ireductibil peste .
Vom da o caracterizare importantă a polinoamelor ireductibile.
Teorema 1: Un polinom din inelul este ireductibil dacă şi numai dacă oricare ar fi astfel încât atunci sau .
Demonstraţie:
Fie un polinom ireductibil şi , unde . Cum este ireductibil, acesta nu are ca divizori decât polinoamele constante nenule sau cele asociate cu . Deci sau . În primul caz rezultă . Dacă însă , atunci există astfel încât , de unde . Dar cum , rezultă , deci . Reciproc, fie , astfel încât . Deci cu . Cum rezultă sau . Dacă şi cum rezultă . Dacă însă , cum avem şi deci .
Teorema 2: Fie un corp comutativ şi un polinom oarecare din cu . Atunci se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste , .
Mai mult, descompunerea este unică, în sensul că dacă este o altă descompunere a lui în factori ireductibili, atunci şi după o eventuală renumerotare a factorilor .
Demonstraţie:
Să demonstrăm mai întâi existenţa descompunerii. Dacă este ireductibil, totul este clar. Dacă este reductibil, există astfel încât şi . În acest caz vom raţiona prin inducţie după grad.
Presupunând adevărată proprietatea pentru toate polinoamele de grad mai mic decât , polinoamele şi se descompun în produs finit de polinoame ireductibile şi deci se descompune.
Să demonstrăm unicitatea. Raţionăm prin inducţie după . Dacă , atunci şi deci şi . Să presupunem proprietatea adevărată pentru polinoamele care se descompun în factori şi să demonstrăm pentru .
|