Home | Autentificare     
Experior LogoMath Logo

Polinoame ireductibile, descompunerea in factori ireductibili


Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Polinoame cu coeficienti intr-un corp. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom in factori ireductibili: existenta si unicitatea descompunerii. Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor complexe. . Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor reale. Aplicatii.
Domenii: Polinoame

4) Polinomul Math formula este ireductibil peste corpul Math formula.

Într-adevăr, Math formula şi deci Math formula nu are rădăcini în Math formula. La fel, polinomul Math formula neavând rădăcini din Math formula, este ireductibil peste Math formula.

Vom da o caracterizare importantă a polinoamelor ireductibile.

Teorema 1: Un polinom Math formula din inelul Math formula este ireductibil dacă şi numai dacă oricare ar fi Math formula astfel încât Math formula atunci Math formula sau Math formula.

Demonstraţie:

Fie Math formula un polinom ireductibil şi Math formula, unde Math formula. Cum Math formula este ireductibil, acesta nu are ca divizori decât polinoamele constante nenule sau cele asociate cu Math formula. Deci Math formula sau Math formula. În primul caz rezultă Math formula. Dacă însă Math formula, atunci există Math formula astfel încât Math formula, de unde Math formula. Dar cum Math formula, rezultă Math formula, deci Math formula. Reciproc, fie Math formula, astfel încât Math formula. Deci Math formula cu Math formula. Cum Math formula rezultă Math formula sau Math formula. Dacă Math formula şi cum Math formula rezultă Math formula. Dacă însă Math formula, cum Math formula avem Math formula şi deci Math formula.

Teorema 2: Fie Math formula un corp comutativ şi Math formula un polinom oarecare din Math formula cu Math formula. Atunci Math formula se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste Math formula, Math formula.

Mai mult, descompunerea este unică, în sensul că dacă Math formula este o altă descompunere a lui Math formula în factori ireductibili, atunci Math formula şi după o eventuală renumerotare a factorilor Math formula.

Demonstraţie:

Să demonstrăm mai întâi existenţa descompunerii. Dacă Math formula este ireductibil, totul este clar. Dacă Math formula este reductibil, există Math formula astfel încât Math formula şi Math formula. În acest caz vom raţiona prin inducţie după grad.

Presupunând adevărată proprietatea pentru toate polinoamele de grad mai mic decât Math formula, polinoamele Math formula şi Math formula se descompun în produs finit de polinoame ireductibile şi deci Math formula se descompune.

Să demonstrăm unicitatea. Raţionăm prin inducţie după Math formula. Dacă Math formula, atunci Math formula şi deci Math formula şi Math formula. Să presupunem proprietatea adevărată pentru polinoamele care se descompun în Math formula factori şi să demonstrăm pentru Math formula.


Pagina 2 din 8 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »