Sisteme de ecuatii liniare - cazul general Autor: Ion Otarasanu Descriere: articol pentru Clasa a XI-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate . Sisteme de ecuatii liniare: metoda Cramer, descriere; teorema lui Rouche, demonstratie. Exemple. Domenii: Sisteme liniare
Sisteme de ecuaţii liniare - cazul general
Ne propunem discuţia şi rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare cu necunoscute de forma:
cu matricea asociată:
Precizăm că o soluţie a acestui sistem este un ansamblu de numere comlexe care verifică fiecare ecuaţie a sistemului.
Dacă un sistem are soluţii, atunci se numeşte compatibil (determinat - soluţie unică, nedeterminat - cel puţin două soluţii), iar dacă nu are soluţii se numeşte incompatibil.
Mijloacele pe care le avem la dispoziţie sunt două:
1) Formulele lui Cramer, care se aplică unui număr restrâns de sisteme (când este pătratică şi nesingulară):
unde este determinantul matricii asociate sistemului şi sunt determinanţii ce se obţin înlocuind coloana cu coloana termenilor liberi.
2) Noţiunea de rang al unei matrice:
Dacă şi , atunci dacă există un minor de ordinul nenul şi toţi minorii de ordin (dacă există) sunt nuli.
Ideea de rezolvare a unui astfel de sistem este aceea de a-l "aşeza" sub o formă căreia să-i putem aplica formulele lui Cramer. Să presupunem că am determinat cu , adică există un minor de ordin nenul, fie acesta:
|