Aici, pe forum, va rugam sa propuneti probleme nerezolvate. Dupa ce utilizatorii vor  posta (tentative de) rezolvari, Echipa Experior va decide daca va include sau nu problema rezolvata in baza de date. Daca doriti sa propuneti o problema rezolvata, va rugam sa o faceti la “Biblioteca” click pe “Propune o Problema”.

Mai jos este o problema propusa de EE, rezolvabila la nivel de clasa a V-a, care poate face parte dintr-un test de clasele a IX-a, a XII-a. Se poate reformula in limbaj de clase de resturi modulo… cine ne spune?

In cate moduri se poate schimba o bancnota de 25 de lei in exact zece monede de 1,3,5 lei?

EE

x+3y+5z=25
x+y+z=10

deci:

y=10-x-z
x+30-3x-3z+5z=25=>5-2x+2z=0=>z=(2x-5)/2
y=10-x-(2x-5)/2=>y=(20-4x+5)/2=>y=(25-4x)/2

avem solutie generala

{x,y,z}={x,(2x-5)/2,(25-4x)/2} si x,y,x din N

OBS: y=(2x-5)/2 | 2 => 2x-5 sa fie par (obs: 2x par pt. orice x din N si cum par-impar este impar)=> nu exista y din N pentru orice x din N

in conluzie nu exista o solutie sa impartim 25 de lei in 10 monede de 1, 3 sau 5 lei.

Mai asteptam rezolvari mai scurte si alte comentarii.

EE

EE

Deci... SOLUTIE:

Numarul de functii strict crescatoare este egal cu numarul de functii strict descrescatoare = combinari de 8 luate cate 3.

Numarul de functii constante = 8 ( f(1)=f(2)=f(3) )

Mai avem de analizat 2 cazuri:

Cazul 1 ( f(1)=f(2) )

Numarul functiilor monotone f : {1,2,3} -> {1,2,3,4,5,6,7,8} cu f(1)=f(2) si f(2)!=f(3) este egal cu numarul functiilor stict monotone g :{2,3}->{1,2,3,4,5,6,7,8} (= * * combinari de 8 luate cate 2);

Cazul 2 ( f(2)=f(3))

Numarul functiilor monotone f : {1,2,3} -> {1,2,3,4,5,6,7,8} cu f(1)!=f(2) si f(2)=f(3) este egal cu numarul functiilor stict monotone g :{1,2}->{1,2,3,4,5,6,7,8} (= * * combinari de 8 luate cate 2);

2 * combinari de 8 luate cate 3 + 8 + 4 * combinari de 8 luate cate 2 = 232

Problema a fost data la Concursul "Dimitrie Pompeiu", la clasa a X-a 2008.

   (1 + 2^x)ⁿ + (1+2^-x)ⁿ =8 , n numar natural.

Concursul intrajudetean de matematica "Vasile Dumitrache" 2008 clasa a X-a

Fie M o multime de numere reale cu cel putin doua elemente care satisface conditiile:
(i) pentru orice x,y din M => x-y apartine lui M;
(ii) pentru orice a>0 multimea este finita.

Aratati ca:
1) multimea M este infinita;
2) daca apartine lui M, atunci M contine un singur numar rational.

Concursul interjudetean de matematica "Dimitrie Pompeiu" 2008 clasa aX-a

Suma unui numar par (10) de numere impare (1,3,5) este un numar par deci nu poate fi 25.

In limbaj de resturi modulo 2 (algebra clasa a 12-a):

Daca adunam in grupul Z2 elementul 1 cu el insusi de 10 ori obtinem elementul 0.

X_{2= 1} X₃= 1.. => X_n=1

Deci X_n este sir constant;

EE

                                         [ a_n+1 ] = [ a_n ]^k +(k+1)*[a_n]+1, oricare ar fi n>0;

Demonstrati ca daca (a_n)_n>0 este convergent, atunci k=2;

Trecand la limita in relatia din ipoteza avem :

[l]=[l]^k +(k+1) [l] + 1 <=> [ l ]^k + k * [l] + 1=0;

Notam [l]=y;

y^k + k * y+1=0

Fie f=y^k + k * y+1, f apartine lui Z[X] o functie polinomiala de gradul k;

Functia f are solutii intregi daca si numai daca acestea sunt divizori ai termenului liber;

Deci S={1,-1};

pt y=1 => 1 + k +1 =0 <=> k=-2 (fals pentru ca k>0)

pt y=-1 => (-1)^k -k+1=0

k nr par => 1+1=k => k=2  ;

k nr impar => -1 -k +1=0 => k=0 (fals pt ca k>0)

Deci (a_n) convergent daca k=2;

EE

EE

Sa se rezolve ecuatia log_1/4(7x+1)=log₉(27).

Va invitam !

Am adus acest post la topicul potrivit.

Mai adaug ca mai multi utilizatori au folosit optiunea Propune o Problema pentru a solicita de fapt asistenta in rezolvarea problemei respective. Locul destinat unui astfel de dialog este pe acest topic.

C_n²  =6

C_n²= n(n-1)/2

n(n-1)=12

Produs de nr nat consecutive este 12 => n(n-1)=4*3

n=4

E ok?