 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Prin urmare,  este egal cu suma Darboux inferioară asociată funcţiei  şi diviziunii  .
În mod analog, dreptunghiul cu baza  şi înălţimea  descrie prin rotaţia în jurul axei Ox un cilindru  de volum  . Aceşti  cilindri determină  ( o mulţime din  ) care conţine corpul  şi al cărei volum este  , unde  este suma Darboux superioară asociată funcţiei  şi diviziunii  .
Fie acum  un şir de diviziuni ale intervalului  astfel încât  . Pentru fiecare diviziune  notăm cu  şi  mulţimile din  construite ca mai sus.
Avem că  ,  şi  , pentru orice  . Cum funcţia  este continuă, deci integrabilă, rezultă că  . Prin urmare, mulţimea  are volum, iar  .
Observaţii:
1. Teorema 2 rămâne adevărată şi pentru funcţii  integrabile şi pozitive. Mai mult, condiţia ca funcţia  să fie pozitivă poate fi omisă. Într-adevăr, dacă  este integrabilă şi nu este pozitivă, atunci prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficelor funcţiilor  şi  obţinem un acelaşi corp de rotaţie  , iar 
2. Să considerăm două funcţii  pozitive şi integrabile, astfel încât  pentru orice  . Atunci prin rotirea subgraficelor  şi  în jurul axei Ox, obţinem un corp  mărginit de suprafeţele obţinute prin rotaţia curbelor  şi de planele  .
Cum mulţimile  şi  au volum, iar , deducem că  are volum, iar  .
Să mai notăm că formula de mai sus rămâne adevărată şi pentru funcţii  nu neapărat pozitive, dar care sunt însă integrabile şi astfel încât  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|