 Filtre |
Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Functii integrabile - Partea II
Funcţii integrabile
(2)
Criterii de integrabilitate.
Cu ajutorul condiţiilor echivalente de integrabilitate se vor putea obţine proprietăţi ale funcţiilor integrabile şi ale integralei, se vor identifica familii de funcţii integrabile.
2.1. Criteriul cu şiruri de sume Riemann.
Teoremă: (criteriul cu siruri de sume Riemann)
Funcţia  este integrabilă dacă şi numai dacă există un număr real  şi pentru orice şir  de sume Riemann astfel încât  avem . Atunci 
Demonstratie:
Dacă funcţia  este integrabilă, atunci există un număr real  şi pentru orice număr  există  astfel încât pentru orice sumă Riemann  , avem  . Atunci, dacă  este un şir de diviziuni cu  , există  şi pentru orice  , avem  . Rezultă că  . Recapitulând, pentru orice  există  astfel încât pentru orice  avem  . Aceasta înseamnă  .
Reciproc, să presupunem că există un număr real  şi că pentru orice şir de sume Riemann  , cu  avem  . Să presupunem că funcţia  nu este integrabilă. Atunci, pentru numărul  există  şi, pentru orice număr  , există o sumă Riemann  cu  , astfel încât  . Alegând  , rezultă că există  şi pentru orice  , există  o sumă Riemann cu  , astfel încât  . Atunci şirul  nu converge către  , cu toate că  , ceea ce contrazice ipoteza. Funcţia  este integrabilă şi  .
Operatii cu functii derivabile. Reguli de derivare
Formule pentru derivarea sumei, produsului, catului, compunerii, inverselor de functii derivabile.
Vezi intregul articol | Aplicatii ale monotoniei functiei de gradul al II-lea
Aplicatii ale functiilor de gradul al doilea: determinarea, pentru diferite exemple de functii de gradul al doilea, cu sau fara parametru, a: intervalelor de monotonie, varfului parabolei, intersectiilor cu axele; trasarea graficelor.
Vezi intregul articol | Ecuatia dreptei prin taieturi
Ecuatia dreptei prin taieturi: demonstratie, exemple.
Vezi intregul articol | Functii reale de variabila reala - partea II
Functia constanta. Functia polinomiala, exemple. Criterii de determinare a radacinilor rationale ale unei ecuatii polinomiale cu coeficienti intregi, exemple.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|