 Filtre |
Biblioteca
In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.
Articolul zilei: Functii integrabile - Partea II
Funcţii integrabile
(2)
Criterii de integrabilitate.
Cu ajutorul condiţiilor echivalente de integrabilitate se vor putea obţine proprietăţi ale funcţiilor integrabile şi ale integralei, se vor identifica familii de funcţii integrabile.
2.1. Criteriul cu şiruri de sume Riemann.
Teoremă: (criteriul cu siruri de sume Riemann)
Funcţia  este integrabilă dacă şi numai dacă există un număr real  şi pentru orice şir  de sume Riemann astfel încât  avem . Atunci 
Demonstratie:
Dacă funcţia  este integrabilă, atunci există un număr real  şi pentru orice număr  există  astfel încât pentru orice sumă Riemann  , avem  . Atunci, dacă  este un şir de diviziuni cu  , există  şi pentru orice  , avem  . Rezultă că  . Recapitulând, pentru orice  există  astfel încât pentru orice  avem  . Aceasta înseamnă  .
Reciproc, să presupunem că există un număr real  şi că pentru orice şir de sume Riemann  , cu  avem  . Să presupunem că funcţia  nu este integrabilă. Atunci, pentru numărul  există  şi, pentru orice număr  , există o sumă Riemann  cu  , astfel încât  . Alegând  , rezultă că există  şi pentru orice  , există  o sumă Riemann cu  , astfel încât  . Atunci şirul  nu converge către  , cu toate că  , ceea ce contrazice ipoteza. Funcţia  este integrabilă şi  .
Doua probleme de grupuri
Prima problema se refera la "slabirea" axiomelor grupului, iar cea de-a doua la compatibilitatea ecuatiei binome într-un grup finit.
Vezi intregul articol | Cercul trigonometric
Cercul trigonometric: definitie, figura, sens pozitiv, sens negativ.
Vezi intregul articol | Elemente de combinatorica si aplicatii
Aplicatii ale calculului cu combinari: identitati; mica teorema a lui Fermat cu aplicatii, principiul excluderii si includerii cu aplicatii; sumele puterilor asemenea a primelor numere naturale cu demonstratii.
Vezi intregul articol | O introducere pentru sumele Darboux
Introducere: idea de a calcula aria unei figure plane ca limita de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri; diviziuni, sume Darboux pentru functii monotone.
Vezi intregul articol |
Materiale didactice
|