Home | Autentificare     
Experior LogoMath Logo

Biblioteca


In cadrul bibliotecii online poti studia 12 articole, 179 lectii.

Articolul zilei: Functii integrabile - Partea II


Funcţii integrabile

(2) Criterii de integrabilitate.

Cu ajutorul condiţiilor echivalente de integrabilitate se vor putea obţine proprietăţi ale funcţiilor integrabile şi ale integralei, se vor identifica familii de funcţii integrabile.

2.1. Criteriul cu şiruri de sume Riemann.

Teoremă: (criteriul cu siruri de sume Riemann)

Funcţia Math formula este integrabilă dacă şi numai dacă există un număr real Math formula şi pentru orice şir Math formula de sume Riemann astfel încât Math formulaavemMath formula. Atunci Math formula

Demonstratie:

Dacă funcţia Math formula este integrabilă, atunci există un număr real Math formula şi pentru orice număr Math formula există Math formula astfel încât pentru orice sumă Riemann Math formula, avem Math formula. Atunci, dacă Math formula este un şir de diviziuni cu Math formula, există Math formula şi pentru orice Math formula, avem Math formula. Rezultă că Math formula. Recapitulând, pentru orice Math formula există Math formula astfel încât pentru orice Math formula avem Math formula. Aceasta înseamnă Math formula.

Reciproc, să presupunem că există un număr real Math formula şi că pentru orice şir de sume Riemann Math formula, cu Math formula avem Math formula. Să presupunem că funcţia Math formula nu este integrabilă. Atunci, pentru numărul Math formula există Math formula şi, pentru orice număr Math formula, există o sumă Riemann Math formula cu Math formula, astfel încât Math formula. Alegând Math formula, rezultă că există Math formula şi pentru orice Math formula, există Math formula o sumă Riemann cu Math formula, astfel încât Math formula. Atunci şirul Math formula nu converge către Math formula, cu toate că Math formula, ceea ce contrazice ipoteza. Funcţia Math formula este integrabilă şi Math formula.


Operatii cu functii derivabile. Reguli de derivare

Formule pentru derivarea sumei, produsului, catului, compunerii, inverselor de functii derivabile.

Vezi intregul articol
Aplicatii ale monotoniei functiei de gradul al II-lea

Aplicatii ale functiilor de gradul al doilea: determinarea, pentru diferite exemple de functii de gradul al doilea, cu sau fara parametru, a: intervalelor de monotonie, varfului parabolei, intersectiilor cu axele; trasarea graficelor.

Vezi intregul articol
Ecuatia dreptei prin taieturi

Ecuatia dreptei prin taieturi: demonstratie, exemple.

Vezi intregul articol
Functii reale de variabila reala - partea II

Functia constanta. Functia polinomiala, exemple. Criterii de determinare a radacinilor rationale ale unei ecuatii polinomiale cu coeficienti intregi, exemple.

Vezi intregul articol

Materiale didactice


Bullet Adunarea numerelor complexeDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Adunarea vectorilorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Afixul punctului care imparte un segment intr-un raport datDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale determinantilorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale determinantilor in geometria analiticaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale ecuatiilor algebrice de grad superiorDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale functiilor de gradul al II-leaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale integralei definiteDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale monotoniei functiei de gradul al II-leaDificultate: Nivel de dificultate
Bullet Aplicatii ale proprietatii lui DarbouxDificultate: Nivel de dificultate