Home | Autentificare     
Experior Logo

Aplicatii ale integralei definite


Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann

Aplicaţii ale integralei definite

La baza dezvoltării calculului integral a stat calculul ariilor unor suprafeţe plane şi de rotaţie sau al volumelor unor corpuri de rotaţie. Primele metode ce permit calculul ariilor unor suprafeţe plane au fost date de Arhimede, însă progrese în această direcţie s-au făcut mult mai târziu, după ce Newton şi Leibniz au pus bazele calculului diferenţial şi integral. Cauchy şi Riemann au fost cei care au fundamentat teoria clasică a integralei pentru o funcţie reală de o variabilă reală. Apoi, Lebesgue, în lucrarea sa de doctorat, apărută în 1902, iniţiază teoria modernă a noţiunilor de integrală, lungime şi arie.

1. Calculul ariilor mulţimilor cuprinse între două curbe

Fie Math formula şi Math formula două numere reale, Math formula. Să considerăm în planul xOy mulţimea Math formula mărginită de axa Ox, dreptele de ecuaţii Math formula şi graficul unei funcţii continue şi pozitive Math formula.

Din punct de vedere analitic, Math formula. Mulţimea Math formula se numeşte subgraficul funcţiei Math formula.

O primă problemă se pune în calculul ariei mulţimii Math formula. Un mod intuitiv de rezolvare este următorul:

fie Math formula o diviziune oarecare a intervalului Math formula şi Math formula puncte luate aleator, Math formula.

Vom nota cu Math formula dreptunghiurile ce au ca bază intervalul Math formula şi înălţimile Math formula:

Figura 1

Pagina 1 din 20 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Bibliografie


1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica
2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress