 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Aplicaţii ale integralei definite
La baza dezvoltării calculului integral a stat calculul ariilor unor suprafeţe plane şi de rotaţie sau al volumelor unor corpuri de rotaţie. Primele metode ce permit calculul ariilor unor suprafeţe plane au fost date de Arhimede, însă progrese în această direcţie s-au făcut mult mai târziu, după ce Newton şi Leibniz au pus bazele calculului diferenţial şi integral. Cauchy şi Riemann au fost cei care au fundamentat teoria clasică a integralei pentru o funcţie reală de o variabilă reală. Apoi, Lebesgue, în lucrarea sa de doctorat, apărută în 1902, iniţiază teoria modernă a noţiunilor de integrală, lungime şi arie.
1. Calculul ariilor mulţimilor cuprinse între două curbe
Fie  şi  două numere reale,  . Să considerăm în planul xOy mulţimea  mărginită de axa Ox, dreptele de ecuaţii  şi graficul unei funcţii continue şi pozitive  .
Din punct de vedere analitic,  . Mulţimea  se numeşte subgraficul funcţiei  .
O primă problemă se pune în calculul ariei mulţimii  . Un mod intuitiv de rezolvare este următorul:
fie  o diviziune oarecare a intervalului  şi  puncte luate aleator,  .
Vom nota cu  dreptunghiurile ce au ca bază intervalul  şi înălţimile  :
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|