 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Atunci, din punct de vedere geometric, suma  reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor  . Intuitiv, considerând diviziuni  de normă din ce în ce mai mică, sumele  aproximează cu o eroare din ce în ce mai mică aria mulţimii  . Cum  reprezintă o sumă Riemann, iar  este continuă, deci integrabilă, cele prezentate arată că aria mulţimii  se calculează cu formula 
Pentru o demonstraţie riguroasă a formulei de mai sus avem nevoie de anumite pregătiri:
Vom nota cu  submulţimea planului  ce are ca elemente mulţimi plane care sunt reuniuni finite de dreptunghiuri pline cu laturile paralele cu axele de coordonate, dreptunghiuri care au două câte două în comun cel mult o latură. Mulţimea vidă  se consideră o mulţime din  , ea identificându-se practic cu dreptunghiul de arie nulă. Dacă mulţimea  este din  , vom scrie  , prin aceasta înţelegând că  sunt dreptunghiuri pline ce au proprietăţile de mai sus.
Definiţia 1. Fie  o mulţime din  . Se defineşte aria mulţimii  prin egalitatea  .
Observaţii: Fie  şi  două submulţimi din  .
1. Aria lui  nu depinde de scrierea  , în sensul că dacă  are o altă scriere, de forma  , atunci  .
2.  dacă şi numai dacă mulţimile  şi  au cel mult în comun laturi ale unor dreptunghiuri care le definesc.
3. Dacă  , atunci  şi  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|