Asupra unor probleme de teoria grupurilor

b) Dacă este un grup finit şi un element arbitrar, atunci există , adică are sens să vorbim de cel mai mic număr cu

Într-adevăr, cum este o mulţime finită, mulţimea este finită, deci există două numere naturale distincte cu . Dacă presupunem şi notăm , din egalitatea se obţine .

c) Evident, .

2.1. Să se arate că, dacă este un grup abelian cu elemente şi un subgrup propriu al său, astfel încât pentru orice rezultă , atunci este par şi

.

Soluţie : Presupunem că fixăm un element şi considerăm aplicaţia , .

Această aplicaţie este bine definită (în sensul că ia valori în ) datorită ipotezei şi este, evident, injectivă. Rezultă , adică sau . Pe de altă parte, conform teoremei lui Lagrange, este divizor propriu al lui , deci , adică . Prin urmare este par şi .

2.2. Să se arate că dacă numărul natural este prim, atunci orice grup cu elemente are exact două subgrupuri.

Soluţie: Dacă este un număr prim şi un grup arbitrar cu elemente, teorema lui Lagrange ne arată că orice subgrup al acestuia va avea ca ordin un divizor al lui , deci pe sau pe . Prin urmare va avea numai două subgrupuri şi anume subgrupurile improprii şi .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie