Structuri algebrice pregrupale

D.2. Dubletul format din mulţimea nevidă şi legea de compoziţie pe se numeşte grupoid (magmă).

În acest caz se numeşte mulţimea subiacentă a grupoidului, iar legea de compoziţie se numeşte operaţia grupoidului.

Din exemplele prezentate deducem că , , , , , sunt grupoizi.

D.3. Dacă este un grupoid, iar este o submulţime nevidă a lui , atunci se numeşte parte stabilă (închisă) a lui în raport cu operaţia dacă:

.

În acest caz se poate defini legea de compoziţie:

care se denumeşte lege de compoziţie indusă pe de operaţia .

În practică, operaţia se notează tot cu .

D.4. Dacă este un grupoid, iar este parte stabilă a lui în raport cu , atunci dubletul se numeşte subgrupoid (submagmă) a lui .

De exemplu, dacă şi , atunci este subgrupoid al grupoidului , deoarece compusa a două funcţii injective este tot o funcţie injectivă. În mod analog, dacă şi , atunci şi sunt subgrupoizi ai grupoidului , iar este subgrupoid atât al lui , cât şi al lui , deoarce orice funcţie bijectivă este atât injectivă cât şi surjectivă.

D.5. Dacă este o mulţime finită, iar este un grupoid, atunci legea de compoziţie poate fi dată printr-un tabel cu linii şi coloane afectate celor elemente ale mulţimii , numit tabla (Cayley) operaţiei şi care conţine la intersecţia liniei cu coloana elementul compus: .

Materiale Didactice Asemanatoare