Intrebari si raspunsuri pentru clasa a XII-a

Aici puteti posta intrebari pentru clasa a XII-a

Fie G un grup finit cu pq elemente; p si q fiind numere prime distincte. Daca in G se afla (cel putin) un element netrivial care comuta cu orice element din G atunci G este abelian.

Iata o problema interesanta.

Fie n un numar natural; n>1 si M produsul cartezian al multimii primelor n numere naturale nenule cu ea insasi.

 Pentru o submultime A a lui M notam cu M_A multimea tuturor matricelor B din M_n(R); B=(b_ij)_1<=i,j<=n cu proprietatea ca daca (i;j) apartine lui A atunci b_ij=0.

Sa se determine toate submultimile A ale lui M pentru care M_A este parte stabila in raport cu inmultirea matricelor.

Comentariu: Am descoperit diverse astfel de submultimi cum ar fi multimea tuturor perechilor (i;j) pentru care i diferit de j, multimea tuturor perechilor (i;j) pentru care i<j , multimea tuturo perechilor (i;j) pentru care i>j , pentru k natural cuprins intre 1 si n-1 multimea tuturor perechiloe (i;j)pentru care i>j-k, pentru m numar natural multimea tuturor perechilor (i;j) pentru care i nu este congruent cu j modulo m etc. Insa a rezolva problema si a gasi toate submultimile lui A cu proprietatea din enunt nu este asa de usor. Inspiratia formularii acestui exercitiu mi-a venit din diverse exercitii care cer sa aratam ca diverse multimi de matrice careau 0 pe anumite pozitii formeaza impreuna cu adunarea matricelor si/sau inmultirea matricelor diverse structuri algebrice

In manualele de clasa a XII-a se gaseste o problema care spune ca daca A este un inel unitar si x⁶=x pentru orice x din A rezulta ca x²=x pentru orice x din A. Mi-am pus urmatoarea problema: "Care sunt numerele naturale m>1 pentru care daca A este un inel unitar cu proprietatea ca x^m=x pentru orice x din A sa rezulte ca x²=x pentru orice x din A ?

Am reusit sa arat ca daca m=2ⁿ+2^k si (n+1;k+1)=1 atunci daca A este un inel unitar cu proprietatea ca x^m=x pentru orice x din A sa rezulte ca x²=x pentru orice x din A  si daca m=2ⁿ-2^k;n>k si (n-1;k)=1 atunci daca A este un inel unitar cu proprietatea ca x^m=x pentru orice x din A sa rezulte ca x²=x pentru orice x din A-doua generalizari ale problemei care se gaseste prin manuale . Lansez urmatoarele provocari:

1)Orice numar natural m care satisface conditia de mai sus are una dintre cele doua forma sau exista si alte numere m care satisfac proprietatea de mai sus ?

2) Care sunt numerele naturale m pentru care exista un inel unitar A astfel incat x^m=x pentru orice x din A , m fiind minim cu aceasta proprietate.

3) Daca renuntam la conditia ca inelul A sa fue unitar mai este valabila implicatia problemei initiale. Dar implicatia fiecarei generalizari ?

in cat timp pot primi raspunsul unei probleme?

Cu siguranta iti va raspunde un profesor, in maxim doua zile. In fond, fiind un forum dedicat problemelor de matematica, ti-ar putea raspunde si un coleg al tau.

Iata o generalizare a unei probleme data la Concursul Experior din 27.11.2010 

http://s801.photobucket.com/albums/yy294/Experiorare/?action=view&current=GeneralizareBStanoiu1-2.png

am si eu o problema,ma ajuta cineva sa o fac?este asa :

N={1,2,3} calculati P(M)

      U(reunit) (M)xP(M)-->P(M)

                            (X,Y)-->XUY

(intersectat) : P(M) xP(M)-->P(M)

                            (X,Y)-->intersectat)Y 

                                                              Operatie algebrica pe P(M) 

va rog imi trb pentru maine.. astept raspunsul

Cred ca intre timp ai aflat raspunsul, dar hai sa-l postam pentru toata lumea

Daca M={1,2,3} atunci multimea partilor multimii M este P(M)={ multimea_vida, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }.

M are 3 elem => P(M) are 2^3=8 elemente.

Orice doua submultimi ale lui M reunite/intersectate formeaza tot o submultime a lui M, deci reuniunea si intersectia sunt operatii algebrice pe P(M).

Adevarat, acest exercitiu face parte din categoria celor care ii incurca pe elevi, pentru ca e foarte abstract.