 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Asupra unor probleme de teoria grupurilor
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
În aceasta nota vom prezenta unele rezultate din teoria grupurilor, insistând asupra teoremei lui Lagrange si asupra notiunii de ordin al unui element într-un grup finit, iar apoi vom rezolva 7 probleme de grupuri finite abeliene aplicand aceste doua rezultate. Remarcam faptul ca vom prezenta teorema lui Lagrange evitând notiunile de relatie de echivalenta si multime factor, care sunt incomode pentru o mare parte din elevi.
Domenii: Grupuri
b) Din teorema lui Lagrange rezultă că  divide  şi cum   , rezultă  .
c)   .
d) Scriem  cu  şi atunci:   , adică  . Dacă  , cum  , obţinem o contradicţie,  fiind cel mai mic număr natural pentru care  . Prin urmare,  , adică  , deci  .
e) Fie   şi   , adică  şi  , de unde  , deci  . Analog, se arată că  şi în concluzie  .
2.5. Fie  un grup comutativ finit cu elementul neutru  şi  . Dacă  pentru mai mult de jumătate din elementele grupului, să se arate că grupul este abelian.
Soluţie: Mulţimea  este un subgrup al lui  . Într-adevăr, dacă  avem  şi cum  este grup abelian, putem scrie:
   , adică  . Dacă  şi  , atunci, conform teoremei lui Lagrange, obţinem  , adică  şi cum, din ipoteză,  , adică  obţinem  sau  , şi cum  , rezultă  . Prin urmare,  , adică  , şi de aici  , deci grupul  este abelian.
Observaţie: Nu putem avea  , pentru că ar rezulta  , ceea ce contrazice faptul că 
Materiale Didactice Asemanatoare
Doua probleme de grupuri
Bibliografie
| 1. Probleme de structuri algebrice - Nastasescu C., Tena M., Otarasanu I., Andrei Gh. - Editura: Academiei Romane - Bucuresti (anul 1988) | | 2. Semigrupuri, aplicatii - Nastasescu C., Otarasanu I. - Editura: Militara - Bucuresti (anul 1995) |
|