Functii integrabile - Partea II

Funcţii integrabile

(2) Criterii de integrabilitate.

Cu ajutorul condiţiilor echivalente de integrabilitate se vor putea obţine proprietăţi ale funcţiilor integrabile şi ale integralei, se vor identifica familii de funcţii integrabile.

2.1. Criteriul cu şiruri de sume Riemann.

Teoremă: (criteriul cu siruri de sume Riemann)

Funcţia este integrabilă dacă şi numai dacă există un număr real şi pentru orice şir de sume Riemann astfel încât avem. Atunci

Demonstratie:

Dacă funcţia este integrabilă, atunci există un număr real şi pentru orice număr există astfel încât pentru orice sumă Riemann , avem . Atunci, dacă este un şir de diviziuni cu , există şi pentru orice , avem . Rezultă că . Recapitulând, pentru orice există astfel încât pentru orice avem . Aceasta înseamnă .

Reciproc, să presupunem că există un număr real şi că pentru orice şir de sume Riemann , cu avem . Să presupunem că funcţia nu este integrabilă. Atunci, pentru numărul există şi, pentru orice număr , există o sumă Riemann cu , astfel încât . Alegând , rezultă că există şi pentru orice , există o sumă Riemann cu , astfel încât . Atunci şirul nu converge către , cu toate că , ceea ce contrazice ipoteza. Funcţia este integrabilă şi .

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie