 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
3. Lungimea graficului unei funcţii derivabile
cu derivata continuă
Fie  o funcţie continuă  cu  . Problema pe care o vom studia se referă la definirea lungimii graficului  asociat unei asemenea funcţii  . Este destul de natural ca lungimea lui  să fie definită ca limita lungimilor liniilor poligonale ce au vârfurile pe curba  , atunci când lungimile laturilor tind la zero.
Fie  o diviziune a intervalului  şi punctele  de pe graficul  de coordonate  .
Unind  cu  ,  cu  , ...,  cu  , se obţine o linie poligonală  ( depinde de diviziunea  considerată ) ce are vârfurile pe curba  . Aplicând teorema lui Pitagora, obţinem că distanţa dintre punctele  şi  este:
 ,  şi deci lungimea  a liniei poligonale  este egală cu:
Definiţie: Fie  o funcţie continuă. Spunem că graficul lui  are lungime finită dacă există o constantă pozitivă  , astfel încât pentru orice şir  de diviziuni ale intervalului  cu  să avem  , unde  este lungimea liniei poligonale  asociată diviziunii  . În acest caz, numim  lungimea graficului funcţiei  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|