 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Vom demonstra formula ce permite calculul lungimii  .
Vom presupune că  este derivabilă cu derivata continuă.
Teorema 3: Fie  o funcţie derivabilă cu derivata continuă  . Atunci graficul lui  are lungime finită şi lungimea sa  este  .
Demonstraţie:
Din ipoteză, avem că funcţia  ,  este continuă şi deci integrabilă. Dacă notăm  , vom arăta că pentru orice şir  de diviziuni ale intervalului  cu  , avem  .
Va rezulta astfel că graficul lui  are lungime finită, iar lungimea sa este  .
Într-adevăr, fie  un şir de diviziuni ale intervalului  astfel încât  .
Pentru orice  , să considerăm diviziunea de forma  . Atunci lungimea liniei poligonale  asociată diviziunii  este:
 (1)
Aplicând funcţiei  teorema creşterilor finite pe fiecare interval  ,  ,  , deducem că există  astfel încât  (2)
Din (1) şi (2) obţinem că:
 pentru orice  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|