 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Definiţie: Fie  o funcţie continuă şi pozitivă. Spunem că suprafaţa de rotaţie  are arie dacă există  astfel încât pentru orice şir de diviziuni  ale intervalului  cu  să avem  . În acest caz,  se numeşte aria suprafeţei de rotaţie  .
Teorema 4: Fie  o funcţie derivabilă cu derivata continuă. Atunci suprafaţa de rotaţie  are arie şi aria sa  se calculează după formula  .
Demonstraţie:
Fie  o diviziune a intervalului  . Vom arăta că:
 , unde limitele de mai sus se gândesc astfel: se înlocuieşte diviziunea  cu  ,  fiind un şir de diviziuni cu  , după care se face limită după  .
Probate aceste egalităţi, cum 
 va rezulta că  are arie şi aria sa  este egală cu  .
Vom demonstra faptul că:
 cea de-a doua limită probându-se în mod asemănător. Pentru aceasta vom aplica lui  teorema creşterilor finite pe fiecare interval  ,  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|