 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Rezultă că există  astfel încât  . Aplicând din nou lui  această teoremă pe fiecare interval  ,  , obţinem că există  astfel încât  . Prin urmare,
 , unde am notat  . Pe de altă parte, funcţia  ,  este funcţie continuă şi deci integrabilă.
Rezultă astfel că  şi din inegalitatea precedentă deducem că
 .
Observaţii:
1. Dacă funcţia  nu este pozitivă, atunci  . Într-adevăr, în acest caz razele bazelor trunghiurilor de con considerate în demonstraţie sunt  şi  . Dacă definim  ,  , atunci  este funcţie continuă.
2. Fie  o funcţie continuă, derivabilă pe  , cu derivata continuă pe  astfel încât funcţia  are limitele finite în punctele  şi  . Dacă  şi  , atunci  ,  este continuă întrucât este prelungirea prin continuitate a lui  . Repetând raţionamentele din demonstraţia teoremei 4 pentru funcţia  , rezultă că şi în acest caz  are arie şi aria sa  se poate calcula după formula  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|