 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Consecinţă: Fie  şi  două funcţii continue astfel încât  pentru orice  . Atunci mulţimea  are arie şi
 .
Demonstraţie:
Funcţiile  şi  fiind continue şi definitepe un interval compact, ele sunt mărginite şi deci există  astfel încât  .
Astfel spus,  , pentru orice  . Prin urmare, dacă definim  ,  , respectiv  , rezultă că  sunt funcţii continue şi  .
Dacă  şi  sunt funcţii pozitive, atunci putem lua  şi deci  . În caz contrar,  şi deci  . În această situaţie, mulţimea  se obţine din mulţimea  printr-o translaţie paralelă cu axa Oy şi deci  are arie dacă şi numai dacă  are arie, caz în care cele două arii coincid.
Conform teoremei 1,  şi  au arii egale cu  , respectiv cu  . Cum  , rezultă că  are arie şi  . Însă  , de unde deducem că  are arie şi     
Observaţie: Consecinţa de mai sus rămâne adevărată şi pentru funcţii  integrabile,  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|