 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
2.Volumul corpurilor de rotaţie
Fie  o funcţie continuă şi pozitivă ( cu  ). Să presupunem că  are graficul din figură.
Dacă rotim subgraficul  al funcţiei  în jurul axei Ox, obţinem ceea ce se numeşte un corp de rotaţie. Analitic, acest corp de rotaţie, pe care îl notăm cu  , se defineşte astfel:
În continuare vom demonstra o formulă de calcul pentru volumul unui asemenea corp. Pentru aceasta, să observăm că orice punct  de pe graficul lui  descrie un cerc cu centrul în punctul  şi de rază  . Astfel, dacă  este o diviziune a intervalului  şi pe fiecare subinterval  considerăm un punct  , atunci dreptunghiul cu baza  şi înălţime  descrie prin rotaţie un cilindru. Suma volumelor cilindrilor rezultaţi este
şi reprezintă o sumă Riemann pentru funcţia  , diviziunea  şi punctele intermediare  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|