 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou |
Aplicatii ale integralei definite
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 25 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.
Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann
Intuitiv, dacă norma diviziunii  este din ce în ce mai mică, atunci  aproximează din ce în ce mai bine volumul corpului  . Mai mult, cele prezentate mai sus justifică într-o oarecare măsură că volumul corpului  să se calculeze cu formula  .
În cele ce urmează vom da o demonstraţie riguroasă a formulei de mai sus. Prin analogie cu cele considerate, vom nota cu  mulţimea ce are ca elemente reuniuni finite de cilindri plini, cilindri ce se obţin prin rotirea în jurul axei Ox a unor dreptunghiuri cu laturile paralele cu axele; în plus, aceste dreptunghiuri au două câte două în comun cel mult o latură.
Dacă  este o mulţime din  , vom scrie  . Prin aceasta se va înţelege că  sunt cilindri plini obţinuţi prin rotirea în jurul axei Ox a dreptunghiurilor  respectiv  , dreptunghiuri ce au proprietăţile cerute mai sus.
Definiţia 1: Fie  o mulţime din  ,  . Se defineşte volumul mulţimii  prin egalitatea  .
Definiţia 2: Fie  o funcţie continuă şi pozitivă, iar  corpul de rotaţie determinat de  . Spunem că  are volum dacă există două şiruri  şi  cu elemente din  astfel încât:
1)  , pentru orice 
2) şirurile  şi  sunt convergente şi  .
În acest caz definim  .
Observaţii:
1. Definiţia volumului corpului de rotaţie  nu depinde de şirurile  şi  .
2. Fie  două funcţii continue şi pozitive, iar  corpurile de rotaţie determinate de  , respectiv  . Dacă  şi  au volum, atunci  şi  au volum; în plus, dacă  , atunci  şi  .
Bibliografie
| 1. Manual pentru clasa a XII-a - Nastasescu C., Nita C., Grigore Gh., Burlacu D. - Editura: Didactica si Pedagogica | | 2. Elemente de analiza matematica vol. I - Ganga M. - Editura: MathPress |
|