Home | Autentificare     
Experior Logo

Doua probleme de grupuri


Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Prima problema se refera la "slabirea" axiomelor grupului, iar cea de-a doua la compatibilitatea ecuatiei binome într-un grup finit.
Domenii: Grupuri

Considerăm acum elementul Math formula, care este şi el lateral simetrizabil, să zicem la stânga, adică: Math formula cu Math formula, adică Math formula, deci Math formula este simetrizabil la stânga şi atunci se continuă ca la implicaţia b) Math formula c), ajungându-se la concluzia că Math formula este şi simetric la dreapta al elementului Math formula, deci Math formula este simetrizabil.

Dacă Math formula este simetrizabil la dreapta, Math formula cu Math formula, adică Math formula, deci Math formula este şi simetrizabil la dreapta. Fiind simetrizabil la stânga şi la dreapta, Math formula este simetrizabil, deoarece din Math formula (am notat Math formula) rezultă Math formula

Math formula , adică simetricele la stânga şi la dreapta coincid. Aşadar, orice element Math formula este simetrizabil, adică Math formula este grup.

COMENTARIU

Oricare din condiţiile b), c), d), e) reprezintă (de fapt) "slăbiri" ale sistemului axiomatic al grupului. Se poate merge chiar şi mai mult cu această "slăbire", presupunând, de exemplu, că Math formula este doar un semigrup (vezi articolul referitor la structuri algebrice pregrupale) în care există element neutru la stânga (dreapta) şi fiecare element al acestui semigrup este simetrizabil la stânga (dreapta).

Mai precis: dacă în semigrupul Math formula există Math formula cu proprietatea Math formula şi pentru orice Math formula, există Math formula cu Math formula, atunci Math formula este un grup.

Într-adevăr, mai întâi dovedim că pentru fiecare Math formula, simetricul său la stânga Math formula este şi simetric la dreapta (faţă de acelaşi element neutru la stânga Math formula).

Dacă Math formula este simetricul la stânga al lui Math formula, adică Math formula, avem:

Math formula , de unde rezultă Math formula

Math formula , adică Math formula. Mai rămâne să arătăm că Math formula este element neutru la dreapta. Pentru orice Math formula, notând cu Math formula simetricul său (atât la stânga cât şi la dreapta) avem: Math formula.

Prin urmare, Math formula este grup şi comentariul se încheie.

P 2: Fie Math formula un grup multiplicativ cu Math formula elemente.

Să se arate că:

I) Dacă Math formula nu este divizibil cu Math formula, atunci pentru orice Math formula, ecuaţia Math formula are o soluţie unică în grupul Math formula.

II) Dacă Math formula nu este divizibil cu Math formula, atunci pentru orice Math formula, ecuaţia Math formula are o soluţie unică în grupul Math formula.


Pagina 2 din 3 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Materiale Didactice Asemanatoare


Bullet Asupra unor probleme de teoria grupurilor
Bullet Structuri algebrice pregrupale
Bullet Un semigrup remarcabil

Bibliografie


1. Probleme de structuri algebrice - Nastasescu C., Tena M., Otarasanu I., Andrei Gh. - Editura: Academiei Romane - Bucuresti (anul 1988)