Home | Autentificare     
Experior Logo

Un semigrup remarcabil


Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 07 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Semigrupul relatiilor binare ale unei multimi: definitie, asociativitatea compunerii, existenta elementului neutru—diagonala acelei multimi.
Domenii: Lege de compozitie interna

Math formula Un semigrup remarcabil

I. Introducere

1.1 Semigrupul este dubletul Math formula format din mulţimea nevidă Math formula şi legea de compoziţie asociativă Math formula definită pe Math formula .

Dacă, în plus, legea de compoziţie Math formula admite element neutru, semigrupul Math formula se numeşte monoid sau semigrup cu unitate.

Elementul Math formula se numeşte element zero al semigrupului Math formula dacă Math formula oricare ar fi Math formula.

Elementul Math formula se numeşte element idempotent al semigrupului Math formula dacă Math formula

1.2 Se numeşte relaţie binară pe muţimea arbitrară Math formula orice submulţime Math formula a produsului cartezian Math formula

Dacă Math formula şi Math formula sunt două elemente arbitrare ale mulţimii Math formula, iar Math formula, vom spune că Math formula este în relaţia Math formula cu Math formula şi vom nota acest lucru prin Math formula . Dacă Math formulaMath formula, atunci vom scrie Math formula.

Mai precizăm faptul că, dacă Math formula este o relaţie binară pe Math formula, atunci ea se numeşte:

a) reflexivă, dacă Math formula, oricare ar fi Math formula ;

b) simetrică, dacă oricare ar fi Math formula cu Math formula rezultă Math formula ;

c) tranzitivă, dacă oricare ar fi Math formula cu Math formula şi Math formula rezultă Math formula.

În fine, dacă o relaţie binară este reflexivă, simetrică şi tranzitivă, atunci ea este o relaţie de echivalenţă.

Vom studia în continuare un semigrup remarcabil şi anume:

II. Semigrupul relaţiilor binare ale unei mulţimi

Dacă Math formula este o mulţime arbitrară şi notăm cu Math formula mulţimea tuturor relaţiilor binare definite pe Math formula, atunciMath formula Pentru Math formula definim relaţia binară:Math formula

Relaţia binară Math formula se numeşte compunerea relaţiei binare Math formulacu relaţia binară Math formula . De asemenea, pentru mulţimea arbitrară Math formula, vom nota:

Math formula diagonala mulţimii Math formula, care, evident, este o relaţie binară pe Math formula şi observăm că Math formula dacă şi numai dacă Math formula. Din acest motiv relaţia binară Math formula se numeşte egalitate pe mulţimea Math formula .

Propoziţia 2.1

Operaţia de compunere a relaţiilor binare determină pe mulţimea Math formula o structură de monoid având ca element neutru relaţia binară Math formula. În plus, muţimea vidă este elementul zero al acestui monoid.


Pagina 1 din 3 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Materiale Didactice Asemanatoare


Bullet Doua probleme de grupuri

Bibliografie


1. Elemente de teoria semigrupurilor - Nastasescu C., Otarasanu I. - Editura: Rotech-Pro - Bucuresti (anul 1999)