Un semigrup remarcabil

Demonstraţie:

Să arătăm că relaţia de compunere a relaţiilor binare din este asociativă, adică:

oricare ar fi . Acest lucru îl vom arăta prin dublă incluziune.

Într-adevar, dacă:

există aşa încât: şi

Din relaţia rezultă că există cu şi , iar din relaţiile şi rezultă că

Mai departe, deoarece şi , obţinem că

, adică incluziunea:

Analog, dacă atunci există cu

şi . Din faptul că rezultă că există cu şi .

În continuare, din relaţiile şi rezultă că

şi cum rezultă că adică incluziunea: Cele două incluziuni conduc la egalitatea: pentru orice relaţii binare

şi prin urmare, operaţia de compunere a relaţiilor binare conferă mulţimii o structură algebrică de semigrup, numit semigrupul relaţiilor binare ale mulţimii

În plus, există aşa încât oricare ar fi , adică este elementul neutru al semigrupului .

Într-adevăr, dacă atunci există astfel încât şi . Dar dacă şi numai dacă şi prin urmare , adică incluziunea: .

Reciproc, dacă , cum rezultă că adică şi cele două incluziuni dau egalitatea , oricare ar fi .

Analog, se arată că oricare ar fi şi prin urmare este un monoid.

Mai mult, oricare ar fi avem în mod evident: , adică este un element zero al monoidului .

Precizare:

Dacă , atunci nu este, în general, inversa lui în semigrupul (monoidul) faţă de operaţia de de compunere a relaţiilor binare.

Într-adevar, dacă luăm şi , atunci:

şi , iar

, adică

Referitor la proprietaţile inversei a relaţiilor binare prezentăm:

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie