Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Corolar: Fie  un corp comutativ şi  un polinom nenul de grad  . Atunci  are cel mult  rădăcini în  .
Exemple:
1) Fie polinomul  .
Avem că  şi deci polinomul  al cărui grad este  are o singură rădăcină reală, anume  .
2) Fie polinomul  . Deoarece  rezultă că polinomul  având gradul  nu are nici o rădăcină în  .
Corolar: Fie  un corp comutativ şi  un polinom nenul din  .Dacă  sunt  rădăcini ale lui  în  , atunci  şi
Demonstraţie:
Din teorema precedentă putem scrie  cu  . Identificând coeficienţii lui  din ambii membrii, avem  . Deci 
 . Identificând coeficienţii lui  , din cele două scrieri ale lui  şi înmulţind cu inversul  al lui  , se obţin relaţiile cerute. Relaţiile din corolarul precedent se numesc relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii unui polinom sau Relaţiile lui Viete.
APLICAŢII
1. Fie  un corp comutativ,  şi  . Să se determine restul împărţirii polinomului  prin polinomul  .
|