 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Fie  un corp comutativ,  un polinom din  şi  . Dacă  , unde  , divide pe  în  , atunci există un polinom  , unic determinat, astfel încât  .
Definiţie: Fie  un polinom nenul şi  o rădăcină a lui  . Numărul  astfel încât  divide  , iar  nu divide pe  se numeşte ordinul de multiplicitate al rădăcinii  . Se mai spune că  este o rădăcină multiplă de ordin  a lui  .
Teorema 10: Fie  un corp şi  un polinom nenul din  . Dacă  sunt rădăcini distincte ale lui  , având ordinele de multiplicitate respectiv  , atunci polinomul  divide pe  .
Demonstraţie:
Procedăm prin inducţie după  . Pentru  , teorema rezultă din definiţia de mai sus. Presupunem că ea este adevărată pentru  şi să demonstrăm pentru  . Din ipoteza de inducţie, polinomul  divide pe  , adică există  astfel încât:  .
Atunci 
 şi cum  pentru orice  , rezultă  .
Notând  avem  cu  . Deoarece  este rădăcină a lui  de ordin de multiplicitate  , rezultă că  este rădăcină a lui  de acelaşi ordin de multiplicitate. Într-adevăr, cum  şi  cu  , înlocuind obţinem  .Simplificând cu  rezultă  , de unde  , adică  . Cum  , atunci  şi deci  , unde  . Rezultă că  şi continuând procedeul de atâtea ori cât este ordinul de multiplicitate al rădăcinii  a lui  , obţinem  . Deci  , unde  , adică  divide pe  .
|