 Optiuni  Inapoi la biblioteca Da un Test Nou Alege nivelul de dificultate: Moderat |
Polinoame ireductibile, descompunerea in factori ireductibili
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti intr-un corp. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom in factori ireductibili: existenta si unicitatea descompunerii. Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor complexe. . Teorema de caracterizare a polinoamelor ireductibile cu coeficienti in corpul numerelor reale. Aplicatii.
Domenii: Polinoame
II. Descompunerea în factori ireductibili în inelul 
Teorema 4: Polinoamele  şi  cu  sunt, mai puţin o asociere în divizibilitate, singurele polinoame ireductibile peste  .
Demonstraţie:
Polinoamele  , fiind de gradul întâi, sunt ireductibile peste  .
Fie  un polinom de  . Dacă  admite o rădăcină reală  , atunci  divide pe  în inelul  . Prin urmare, există  astfel încât  şi deci  este reductibil.
Fie acum  un polinom ireductibil peste  de  . Atunci  nu are rădăcini reale şi fie  cu  o rădăcină complexă a sa. Deoarece  are coeficienţi reali, din  rezultă că  . Din  rezultă că  divide  în inelul  şi deci există  astfel încât  . Cum  şi  , rezultă că  . Deci  cu  , de unde  , unde  şi  . Observăm că  . Cum polinoamele  şi  sunt din  , rezultă că polinomul (câtul)  aparţine tot lui  . Deoarece  şi  fiind ireductibil, rezultă că  şi deci  . Deci un polinom  ireductibil peste  de  este de forma  cu  şi  .
Reciproc, un polinom de forma  cu  şi  este ireductibil peste  . Într-adevăr, dacă ar fi ireductibil, s-ar putea scrie sub forma  cu  . Deci polinomul  ar avea rădăcini reale, ceea ce nu este posibil, deoarece  .
Corolar: Orice polinom  de  se scrie în mod unic sub forma:
 , unde  ,  şi  , pentru  .
|