Polinoame ireductibile, descompunerea in factori ireductibili

Conform teoremei precedente, deoarece , rezultă că există astfel încât . Renumerotând termenii, dacă este necesar, putem presupune că . Cum este ireductibil, şi deci . Din obţinem şi deci , unde şi sunt ireductibili. Din ipoteza de inducţie avem şi după o eventuală renumerotare a factorilor . Deci şi , după o eventuală renumerotare a factorilor.

Observaţie: Determinarea tuturor polinoamelor ireductibile din inelul al polinoamelor cu coeficienţi raţionali este, practic, imposibilă. Totuşi există procedee prin care putem decide dacă anumite polinoame din sunt ireductibile peste . Acest lucru se poate spune şi despre polinoamele ireductibile din inelul al polinoamelor cu coeficienţi în corpuri de clase de resturi cu prim.

I. Descompunerea în factori ireductibili în inelul

Teorema 3: Polinoamele de grad întâi cu coeficienţi complecşi sunt singurele polinoame ireductibile peste .

Demonstraţie:

Este clar că polinoamele de grad întâi din sunt ireductibile peste . Fie acum astfel încât .

Conform teoremei fundamentale a algebrei, polinomul are cel puţin o rădăcină complexă . Cum , rezultă că divide în inelul . Prin urmare, există astfel încât . Cum şi , rezultă că este reductibil peste şi teorema este demonstrată.

Cum orice polinom de din este produs finit de polinoame ireductibile şi orice polinom ireductibil peste este asociat în divizibilitate cu un polinom de forma cu rezultă:

Corolar: Orice polinom de se scrie în mod unic sub forma:

pentru orice şi .