 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Structuri algebrice pregrupale
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 27 Apr 2009, nivel de dificultate  .
Conceptul de structura algebrica—scurt istoric. Operatii algebrice: definitie si exemple. Conceptele de grupoid, subgrupoid, parte stabila, monoid, semigrup, quasigrup, bucla(loop) cu exemple. Morfisme si izomorfisme. Aplicatii diverse.
Domenii: Grupuri
Soluţie:
Dacă în relaţia din enunţ luăm  ,  , obţinem   , ceea ce arată că  este soluţie a ecuaţiei  Să arătăm că această soluţie este unică.
Fie  o soluţie arbitrară a ecuaţiei  , adică  (1)
Luând în condiţia din enunţ  ,  , obţinem   , adică folosim (1)
 (2)
Luăm acum în relaţia din enunţ  ,  şi obţinem   , adică conform cu (2),  .
Egalitatea  la care am ajuns arată că soluţia ecuaţiei  este unică.
Vom demonstra acum egalitatea:
 ,  (3)
(atenţie: operaţia nu este asociativă)
Dacă în relaţia din enunţ înlocuim pe  cu  avem    şi dacă ţinem seama că  (tot datorită relaţiei din enunţ) am obţinut
 , adică (3).
Folosind (3) şi procedând analog cum am făcut pentru ecuaţia  , se ajunge la concluzia că ecuaţia  are drept unică soluţie pe  .
Dăm acum un exemplu de mulţime  înzestrată cu o astfel de operaţie. Luăm
 şi tabla operaţiei
| |
a |
b |
c |
d |
| a |
a |
d |
b |
c |
| b |
c |
b |
d |
a |
| c |
d |
a |
c |
b |
| d |
b |
c |
a |
d |
Această operaţie nu este asociativă, nu este comutativă şi nu admite element neutru.
VIII. Pentru fiecare  definim funcţia
  ,   şi pentru fiecare  , definim funcţia  ,   .
Să se arate că:
a) Mulţimea  înzestrată cu operaţia de compunere este un monoid comutativ izomorf cu monoidul  ;
b) Mulţimea  înzestrată cu operaţia de compunere este un monoid comutativ izomorf cu monoidul  .
Materiale Didactice Asemanatoare
Doua probleme de grupuri
|