 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Structuri algebrice pregrupale
Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 27 Apr 2009, nivel de dificultate  .
Conceptul de structura algebrica—scurt istoric. Operatii algebrice: definitie si exemple. Conceptele de grupoid, subgrupoid, parte stabila, monoid, semigrup, quasigrup, bucla(loop) cu exemple. Morfisme si izomorfisme. Aplicatii diverse.
Domenii: Grupuri
Soluţie:
a) Dacă  şi  putem scrie:
   
deci   (1)
Aşadar, compunerea funcţiilor este o lege de compoziţie pe mulţimea  . Această lege de compoziţie este asociativă, comutativă şi admite elementul neutru  . Aşadar  este un monoid comutativ.
Aplicaţia    ,   este un morfism de monoizi, întrucât egalitatea (1) se scrie echivalent   pentru orice  .
Acest morfism este şi bijectiv, deci este un izomorfism de monoizi.
b) Se arată că  pentru orice  . Rezultă ca şi la a) că  este un monoid comutativ, în care elementul neutru este  .
Aplicaţia   ,   este un izomorfism de monoizi.
IX. Fie  . Pe mulţimea  se introduce operaţia  definită astfel:
   .
Să se demonstreze că  este un monoid.
Care sunt elementele inversabile din acest monoid?
Soluţie:
Să arătăm că operaţia  este asociativă. Pentru aceasta fie trei elemente arbitrare  ,  ,  . Avem:
  
 
   
 . Aşadar
  
 pentru orice  ,  ,    operaţia  este asociativă.
Să arătăm că există un element neutru. Căutăm aşadar un element   , astfel încât    , pentru orice   .
Egalităţile precedente se scriu echivalent:
   sau
 şi
   , pentru orice  .
Rezultă  ,  , deci elementul neutru există şi este  . Am dovedit astfel că  este monoid.
Materiale Didactice Asemanatoare
Doua probleme de grupuri
|