Asupra unei teoreme Pick

Asupra unei teoreme a lui Pick

Rezultatul de care ne vom ocupa în această notă, cunoscut sub numele de teorema lui Pick, permite calcularea ariei unui poligon din planul cartezian ale cărui vârfuri au coordonate întregi (a se vedea [1], pag.68). Este un rezultat elegant şi, după cât se pare, puţin cunoscut la noi. Iată enunţul exact al teoremei lui Pick:

Teorema lui Pick [1]: Într-un sistem cartezian se consideră un poligon ale cărui vârfuri au coordonatele întregi. Atunci aria poligonului este dată de formula

, unde reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi din interiorul poligonului, iar reprezintă numărul de puncte de coordonate întregi care aparţin poligonului.

Pentru a demonstra teorema lui Pick avem nevoie de următoarea:

Lemă: Teorema lui Pick este adevărată dacă poligonul este un triunghi oarecare sau un dreptunghi ale cărui laturi sunt paralele cu axele de coordonate.

Demonstraţia lemei. Cazul 1. Poligonul este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate. Dacă dreptunghiul, notat , conţine în interiorul laturii puncte de coordonate întregi şi puncte de coordonate întregi în interiorul laturii , atunci lungimea lui este egală cu , lungimea laturii este . Rezultă că aria dreptunghiului este . În plus se obţine:

.

Prin urmare formula este verificată în cazul unui dreptunghi (Fig.1).

Cazul 2. Poligonul este un triunghi . Presupunem că laturile şi conţin respectiv puncte de coordonate întregi, fără a considera capetele lor, şi interiorul triunghiului conţine puncte de coordonate întregi. Se disting cinci poziţii ale triunghiului faţă de axele de coordonate:

a) Triunghiul este dreptunghic şi are catetele paralele cu axele de coordonate (a se vedea Figura 1).

Dreptunghiul conţine puncte interioare de coordonate întregi. Pentru triunghiul avem:

.

În acest caz formula este verificată.

Bibliografie