Despre continuitatea functiilor

Despre continuitatea funcţiilor

I. Enunţarea problemei

În limbajul cotidian, spunem că o curbă este „continuă” dacă ea „nu are întreruperi”, iar dacă într-un punct se întrerupe spunem că în acel punct curba NU este continuă sau că este „discontinuă”.

În acest context, prin graficul unei funcţii reale de variabilă reală , înţelegem reprezentarea geometrică a acestui grafic sau curba reprezentativă a lui .

Deoarece, în particular, curba poate fi graficul unei funcţii reale de variabilă reală, se pune problema să „transcriem” matematic această proprietate de continuitate a graficului funcţiei respective. Facem de la început precizarea că noţiunea de funcţie continuă (în mod paradoxal) a fost istoriceşte definită neaşteptat de târziu (A. Cauchy 1821), mult după ce fuseseră elaborate conceptele de derivată şi integrală si descoperite proprietăţile lor principale (Newton si Leibnitz - 1701). Prin urmare, trebuie subliniată dificultatea primară în prezentarea riguroasă a conceptului de continuitate, a cărui definiţie s-a impus doar în momentul fundamentării solide, logice a edificiului analizei matematice.

Mai precizăm că noţiunea de continuitate a unei funcţii într-un punct, asa cum vom arăta într-un exemplu simplu, este strâns legată de aceea de limită a unei funcţii într-un punct, motiv pentru care este necesar să reamintim:

a) Punct de acumulare : Dacă , atunci este un punct de acumulare al lui dacă:

Mulţimea punctelor de acumulare ale lui se notează cu (mulţimea derivată a lui ) şi dacă , atunci:

cu

Exemple:

1). Dacă atunci orice punct de acumulare al intervalului este punct de acumulare al intervalului .

2). Singurul punct de acumulare al lui este .

3). Orice număr real este punct de acumulare al lui şi al lui .

b)Punct izolat: Spunem că este punct izolat al lui dacă există astfel încât