Home | Autentificare     
Experior Logo

Doua probleme de grupuri


Autor: Ion Otarasanu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 05 Feb 2008, nivel de dificultate Dificultate.
Prima problema se refera la "slabirea" axiomelor grupului, iar cea de-a doua la compatibilitatea ecuatiei binome într-un grup finit.
Domenii: Grupuri

Două probleme de grupuri

Prima problemă se referă la "slăbirea" axiomelor grupului, iar cea de-a doua la compatibilitatea ecuaţiei Math formula într-un grup finit cu Math formula elemente,

P 1: Fie Math formula un monoid multiplicativ şi Math formula elementul său neutru. Se spune că elementul Math formula este lateral simetrizabil dacă este simetrizabil la stânga (Math formula astfel încât Math formula) sau la dreapta (Math formula astfel încât Math formula).

Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) Math formula este grup.

b) Orice element din Math formula este simetrizabil la stânga.

c) Orice element din Math formula este simetrizabil la dreapta.

d) Orice element din Math formula este lateral simetrizabil.

e) Orice parte stabilă a lui Math formula conţine cel puţin un element lateral simetrizabil.

Soluţie:

Implicaţia a) Math formula b) este evidenta.

b) Math formula c) :

Fie Math formula arbitrar. Deoarece Math formula este simetrizabil la stânga, Math formula (1)

Cum şi Math formula este simetrizabil la stânga, adică Math formula (2)

Înmulţind relaţia (1) la stânga cu Math formula şi ţinând seama de (2) obţinem Math formula şi atunci relaţia (2) devine Math formula, adică Math formula este simetrizabil la dreapta.

Implicaţiile c) Math formula d) şi d) Math formula e) sunt evidente.

e) Math formula a) :

Dacă Math formula, în partea stabilă Math formula există cel puţin un element lateral simetrizabil, de exemplu Math formula este simetrizabil la stânga. Atunci Math formula cu Math formula, adică Math formula, ceea ce înseamnă că Math formula este simetrizabil la stânga.

În concluzie, am demonstrat că orice element Math formula este lateral simetrizabil, adică am stabilit implicaţia e) Math formula d).

Vom arăta, în continuare, implicaţia d) Math formula a). Pentru aceasta, luăm Math formula, să zicem simetrizabil la stânga, deci Math formula cu Math formula.


Pagina 1 din 3 « Pagina anterioara        Pagina urmatoare »

Materiale Didactice Asemanatoare


Bullet Asupra unor probleme de teoria grupurilor
Bullet Structuri algebrice pregrupale
Bullet Un semigrup remarcabil

Bibliografie


1. Probleme de structuri algebrice - Nastasescu C., Tena M., Otarasanu I., Andrei Gh. - Editura: Academiei Romane - Bucuresti (anul 1988)