Ecuatii algebrice de grad superior

Încercările ulterioare ale matematicienilor de a găsi formule de rezolvare pentru ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru au fost zadarnice. Problema a fost rezolvată de matematicianul norvegian Niels Henrik Abel şi de matematicianul italian Paolo Ruffini la începutul secolului al XIX-lea. Mai exact, ei au demonstrat:

Teorema Abel Ruffini: Ecuaţia algebrică generală de grad mai mare decât patru nu poate fi rezolvată prin radicali.

Vom vedea că există totuşi ecuaţii particulare de pentru care putem da formule de determinare a rădăcinilor lor.

Teorema fundamentală a algebrei:

Orice ecuaţie algebrică de grad mai mare sau egal cu şi cu coeficienţi complecşi are cel puţin o rădăcină complexă.

Această teoremă mai poartă numele de teorema D'Alembert-Gauss. Nu vom da demonstraţiile teoremei fundamentale a algebrei şi a teoremei Abel-Ruffini, deoarece depăşesc cadrul lecţiei.

Trebuie să observăm că teorema fundamentală a algebrei are caracter existenţial; nicio demonstraţie a acestei teoreme nu ne indică vreun procedeu de obţinere a rădăcinilor ecuaţiilor algebrice. Acest lucru ne arată că nu există nici o contradicţie între cele două teoreme enunţate mai înainte.

Observaţie:

Din lecţiile precedente am văzut că lărgirea noţiunii de număr a fost impusă, printre altele, de rezolvarea anumitor ecuaţii. De exemplu, introducerea numerelor întregi a fost impusă de faptul că nu orice ecuaţie cu coeficienţi numere naturale are o rădăcină număr natural. De exemplu, ecuaţia nu are nicio rădăcină număr natural.

Materiale Didactice Asemanatoare

Bibliografie