Functii cu proprietatea lui Darboux

Grafic reprezentat acest rezultat :

taie axa cel puţin o dată în intervalul (are cel puţin un zero în acel interval). Lema anterioară ajută la demonstrarea unui rezultat important.

Teorema 2 : (a valorilor intermediare)

Orice funcţie continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Demonstraţie. Fie o funcţie continuă. Pentru a demonstra că are proprietatea lui Darboux vom verifica definiţia.

Fie puncte oarecare din

Fie un număr situat între şi . Considerăm funcţia

Deoarece este între şi şi sau

şi

Conform lemei astfel încât

Astfel s-a verificat definiţia funcţiilor ce au proprietatea lui Darboux.

Observaţie. Reciproca teoremei valorilor intermediare nu este adevărată :

- există funcţii care au proprietatea lui Darboux pe un interval, dar care nu sunt continue pe acel interval.

Exemplu: Fie

are proprietatea lui Darboux pe dar nu este continuă în

Materiale Didactice Asemanatoare