Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Inele de polinoame. Proprietăţi aritmetice
În clasa a X-a s-a dat o construcţie pentru polinoamele cu coeficienţi complecşi. Sub forma zisă algebrică, un polinom  cu coeficienţi complecşi, într-o nedeterminată  , este o expresie de forma  , unde  şi  .
S-a notat cu  mulţimea tuturor polinoamelor cu coeficienţi complecşi în nedeterminata  . Dacă   s-a definit egalitatea, suma şi produsul după cum urmează:
Rezultă că  este inel comutativ în raport cu operaţiile de adunare şi înmulţire a polinoamelor.
În construcţia lui  , precum şi în demonstraţiile proprietăţilor operaţiilor cu polinoame, a intervenit, în mod esenţial, faptul că adunarea şi înmulţirea numerelor complexe satisfac axiomele inelului comutativ. Din acest motiv putem înlocui pe  cu un inel comutativ oarecare  . Se obţine inelul comutativ  al polinoamelor cu coeficienţi în  . Inelul  poate fi: inelul  al întregilor raţionali, inelul  al claselor de resturi modulo  etc.
În particular  poate fi un corp comutativ, de exemplu  număr prim. Obţinem astfel inelele de polinoame  cu coeficienţi în  respectiv.
(1.) Fie  un inel comutativ. Să notăm cu  mulţimea şirurilor  , care au numai un număr finit de termeni  nenuli. Prin urmare, un şir ai cărui termeni sunt elemente din  aparţine lui  dacă şi numai dacă există un număr natural  astfel încât  pentru orice  . Şirurile  şi  sunt egale dacă şi numai dacă  pentru orice  .
Pe mulţimea  definim două operaţii algebrice, adunarea şi înmulţirea, împreună cu care  devine inel comutativ.
|