Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Dacă  definim suma lui  cu  prin  . Observăm că  .
Într-adevăr, fie numerele  si  astfel încât  pentru orice  şi  pentru orice  . Atunci  pentru orice  , adică  .
Operaţia prin care oricăror elemente  şi  din  li se asociază suma lor  se numeşte adunare.
I. Mulţimea  împreună cu adunarea este grup abelian.
Într-adevăr, adunarea are proprietăţile:
1) este asociativă, adică  , oricare ar fi  ;
2) este comutativă, adică  , oricare ar fi  ;
3) are element neutru  ;
4) orice element  are un opus care este  .
Demonstraţia acestor proprietăţi este relativ simplă şi se face absolut la fel ca în cazul polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Dacă  ,  definim produsul lui  cu  prin  , unde  ,  ,  , şi, în general,  pentru orice  . Observăm că  .
Într-adevăr, fie numerele  şi  astfel încât  pentru orice  şi  pentru orice  . Atunci  pentru orice  , adica  .
Operaţia prin care oricăror elemente  şi  din  li se asociază produsul lor  se numeşte înmulţire.
|