Inele de polinoame. Proprietati aritmetice

II. Mulţimea împreună cu înmulţirea este monoid comutativ.

Într-adevăr, înmulţirea are proprietăţile:

1) este asociativă, adică , oricare ar fi ;

2) are element neutru ;

3) este comutativă, adică , oricare ar fi .

III. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică şi , oricare ar fi .

Demonstrarea este asemănătoare ca în cazul polinoamelor cu coeficienţi complecşi.

Ţinând cont de proprietăţile I, II şi III, avem:

Teorema 1: Mulţimea împreună cu adunarea şi înmulţirea este un inel comutativ.

Definiţie: Elementele inelului de la teorema precedentă se numesc polinoame cu coeficienţi în inelul comutativ .

Dacă este un polinom nenul, atunci se numeşte gradul polinomului . Gradul unui polinom se notează prin , iar coeficientul unde , se numeşte coeficientul dominant al polinomului . Pentru polinomul nul, convenim să considerăm gradul său ca fiind , adoptând convenţiile uzuale, şi anume: , pentru orice număr natural . Dacă , atunci se numesc coeficienţii polinomului .

Teorema 2: Dacă este un inel comutativ, atunci următoarele afirmaţii sunt adevărate:

1) Funcţia este morfism injectiv de inele.

2) Operaţiile algebrice ale lui induc operaţii algebrice pe , în raport cu care este inel comutativ.

3) Inelele şi sunt izomorfe.

Demonstraţie:

1) Dacă , atunci

si

Mai mult, dacă , atunci şi deci

2) Dacă , atunci

si

Deci adunarea şi înmulţirea din induc operaţii algebrice pe . Rezultă imediat că împreună cu operaţiile induse este inel comutativ.

3) Morfismul injectiv dă izomorfismul căutat între inelele şi .

Izomorfismul de la punctul 3) al teoremei precedente permite să se identifice elementul din cu imaginea sa prin , adică polinomul din . Polinoamele se numesc constante.