Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Prezentăm în continuare scrierea uzuală pentru polinoame, care se dovedeşte mai comodă în calcule.
Notăm prin  polinomul  care se numeşte nedeterminata  . Înmulţirea polinoamelor ne dă:  şi, mai general,  . Fie  un polinom de grad  ai cărui coeficienţi sunt  , adică  .
Putem scrie  , obţinând astfel scrierea obişnuită a unui polinom.
Definiţie: Inelul  se numeşte inelul polinoamelor în nedeterminata  cu coeficienţi în inelul  şi se notează prin  .
Inelul  se mai numeşte şi inelul polinoamelor într-o nedeterminată cu coeficienţi în  . Un polinom de grad  în nedeterminata  se scrie condensat:
Teorema 3: Dacă  este un inel comutativ şi  polinoame din  , atunci:
1) 
2) 
3) dacă, în plus,  este domeniu de integritate, avem 
Demonstraţie:
Dacă cel mult unul dintre polinoamele  sau  este nul, atunci afirmaţiile teoremei sunt, evident, adevărate, având în vedere convenţiile privind calculele cu  . Dacă  şi  sunt nenule, afirmaţiile de la punctele 1) şi 2) rezultă din definiţia sumei şi produsului a două polinoame.
Pentru afirmaţia de la punctul 3), fie  . Cum  este domeniu de integritate, coeficientul dominant al produsului  este  care este nenul. Deci, în acest caz,  .
Corolar: Dacă  este un domeniu de integritate, atunci inelul polinoamelor  este domeniu de integritate.
Demonstraţia: Rezultă din punctul 3) al teoremei precedente.
|