Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Teorema 4: Fie  un domeniu de integritate. Atunci elementele inversabile ale inelului  coincid cu elementele inversabile ale inelului  , adică  .
Demonstraţie: Fie  , adică există  astfel încât  . Această relaţie are loc şi în  ,  şi  fiind polinoame de grad zero, şi deci,  este inversabil în  .
Invers, fie  un polinom inversabil din  şi  astfel încât  . Atunci  , adică  , de unde  . Deci  şi  este inversabil în  .
Exemple:
1) 
2) Pentru un corp comutativ  , avem  . Cu alte cuvinte, polinoamele inversabile din  sunt polinoamele de grad zero şi numai acestea.
(2.) Valoarea unui polinom. Funcţie polinomială.
Fie  un inel comutativ şi  un polinom oarecare. Pentru  , punem  . Atunci  , iar  se numeşte valoarea polinomului  în  . Dacă  se spune că elementul  anulează polinomul  sau că  este o rădăcină a lui  .
Teorema 5: Fie  un inel comutativ, iar  un element oarecare. Atunci oricare ar fi polinoamele  , avem:  .
Demonstraţie:
Fie  şi  şi să presupunem că  . Completând eventual polinomul  cu termeni ai căror coeficienţi sunt zero, putem scrie  , unde  . Atunci, pentru  avem 
 . Dacă notăm cu  coeficienţii produsului  , avem  şi deci 
 . În suma  am scris şi termenii care eventual sunt zero.
|