Inele de polinoame. Proprietati aritmetice

Dacă este un inel comutativ, iar un polinom arbitrar, putem defini funcţia prin , oricare ar fi . Funcţia se numeşte funcţia polinomială asociată polinomului .

Orice funcţie de la la , care poate fi pusă sub forma unei funcţii pentru un anumit din se numeşte funcţie polinomială pe . Cea mai mare parte a funcţiilor de la la nu sunt funcţii polinomiale. De exemplu, dacă este corpul numerelor reale , funcţia modul pentru orice , nu este funcţie polinomială, deoarece nu este derivabilă în zero, iar orice funcţie polinomială este indefinit derivabilă.

Dacă , atunci funcţia este constantă, pentru orice . De aceea, elementele inelului considerate ca polinoame se numesc polinoame constante.

Pot fi funcţii polinomiale care să fie constante, chiar când , dar numai acele polinoame care aparţin lui se numesc constante.

De exemplu, fie inelul al claselor de resturi modulo . Dacă este polinomul , avem , oricare ar fi , dar nu este polinom constant.

(3.) Teorema împărţirii cu rest.

Fie un corp comutativ. De exemplu, corpul poate fi oricare dintre corpurile de numere , sau corpul , cu număr prim. Vom arăta că proprietăţi similare are orice inel de polinoame , unde este un corp comutativ oarecare.

Teorema 6: (teorema împărţirii cu rest). Fie un corp comutativ, iar şi , cu , polinoame din . Atunci există polinoamele şi din , unic determinate, astfel încât cu .

Polinoamele şi se numesc câtul şi respectiv restul împărţirii lui prin .

Demonstraţie:

Vom arăta mai întâi existenţa polinoamelor şi . Procedăm prin inducţie după gradul lui . Fie gradul lui şi gradul lui . Dacă , luăm şi avem cu . Dacă , fie şi . Cum , iar este corp, rezultă că este inversabil. Considerăm polinomul cu coeficienţi în . Deoarece coeficienţii lui în şi în sunt egali, rezultă că .