Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Demonstraţie:
Dacă  , am convenit că  . Să presupunem că  sau măcar 
Dacă  , atunci  este c.m.m.d.c. Să presupunem acum că  . Folosim succesiv teorema împărţirii cu rest. Există  astfel încât  ,  şi 
Cum  , există  astfel încât  , 
Dacă  , există  astfel încât  , 
Repetăm procedeul: Dacă  există  astfel încât  etc.
Cum  , există un număr natural  astfel încât  şi  .
Deci:
 şi 
 şi 
Şirul de egalităţi  se numeşte algoritmul lui Euclid pentru polinoamele  şi  . Arătăm că  din algoritm este c.m.m.d.c. al lui  şi  .
Cum  , rezultă  . Din relaţia  rezultă că  şi continuând, rezultă  . Din aproape în aproape rezultă că  divide  . Din  rezultă  , iar din  rezultă  . Deci  şi  .
Fie acum  astfel încât  şi  . Din  rezultă  apoi din  rezultă  etc. Obţinem că  divide  . Ambele condiţii din definiţia c.m.m.d.c. fiind îndeplinite, rezultă că  este un c.m.m.d.c. al polinoamelor  şi  .
|