Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Observaţie:
Relaţia de divizibilitate pe  nu este simetrică. De exemplu  în  , dar  . Ea nu este nici antisimetrică, de exemplu:  ,  în  , dar  .
Deci relaţia de divizibilitate nu este relaţie de echivalenţă. Vom defini pe  o nouă relaţie binară, numită asocierea în divizibilitate:
Definiţie: Dacă  spunem că  este asociat în divizibilitate cu  şi scriem  dacă  şi  .
Corolar: Relaţia  pe  are proprietăţile:
1)  este relaţie de echivalenţă
2)  există  astfel încât 
3) .
Demonstraţie:
1) Din Punctele 1) şi 2) ale teoremei precedente şi din definiţie, rezultă că relaţia  este reflexivă, simetrică şi tranzitivă.
2) Rezultă din punctul 4) al teoremei precedente observând, în plus că dacă  , atunci  . Dar, cum  atunci şi  . Deci  .
3) Rezultă din punctul 2) al teoremei.
Definiţie: Fie  un corp comutativ şi  două polinoame din  . Un polinom  se numeşte cel mai mare divizor comun (pe scurt, c.m.m.d.c.) dacă are următoarele proprietăţi:
i)  şi 
ii) dacă  astfel încât  şi  atunci  .
Printre polinoamele asociate în divizibilitate cu un polinom dat, există unul singur, care are coeficientul dominant egal cu  , numit polinom unitar.
Notaţie: Dacă  sunt două polinoame din  , vom nota prin  polinomul unitar care este un c.m.m.d.c. al lor. Cum pentru  polinomul  nu poate fi definit ca mai sus, convenim să punem în acest caz  .
Teorema 8: Fie  un corp comutativ. Pentru orice două polinoame  din  există c.m.m.d.c. al lor. Mai mult, dacă  este un c.m.m.d.c. al lui  şi  , atunci există polinoamele  din  astfel încât  .
|