Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
2) Fie  şi  . Să deteminăm câtul şi restul împărţirii lui  la  .
Deci câtul este  , iar restul este  .
(4.)
Divizibilitatea în inele de polinoame.
Fiind dat un corp comutativ  , inelul  este un domeniu de integritate.
Definiţie: Fie  două polinoame din  . Spunem că  divide  şi scriem  dacă există  astfel încât  . În caz contrar, spunem că  nu divide  şi scriem  . Când  divide  se mai spune că  este un divizor al lui  sau că  este multiplu al lui  . Se obţine astfel o relaţie binară pe mulţimea  , numită relaţia de divizibilitate.
Teorema 7: Relaţia de divizibilitate pe  are proprietăţile:
1) este reflexivă, adică  oricare ar fi 
2) este tranzitivă, adică dacă  şi  , atunci 
3) dacă  astfel încât  , atunci oricare ar fi  rezultă 
4) dacă  astfel încât  şi  , atunci există  , astfel încât  .
Demonstraţie:
Proprietăţile se demonstrează la fel ca în cazul polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Proprietatea 4) : Într-adevăr, cum  , există  astfel încât  , iar cum  există  astfel încât  . Dacă  , atunci şi  şi invers. În acest caz putem alege orice  . Putem presupune acum că  şi  . Din relaţiile precedente, obţinem  . Cum  , atunci  şi deci  , adică  . Cum  , rezultă că  . Deci  cu  şi deci  cu  .
|