 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Să demonstrăm ultima parte a teoremei. Din  obţinem  , unde  şi  . Din  obţinem 
 , unde  şi  . Continuând procedeul, putem presupune că pentru orice  , există polinoamele  şi  astfel încât  . Din  avem  . Cum  şi  , atunci 
 , unde  şi  .
Acum, dacă  este un c.m.m.d.c. al lui  şi  , atunci există  . Deci  , unde  şi  .
Definiţie: Două polinoame  şi  din  se numesc prime între ele (relativ prime) dacă  .
Corolar: Polinoamele  sunt prime între ele dacă şi numai dacă există  astfel încât  .
Demonstraţie:
Ţinând seama de teorema 8, mai rămâne să arătăm că dacă  , atunci  şi  sunt prime între ele. Într-adevăr, dacă  şi  , atunci  , de unde  . Deci  , adică  .
Exemple:
1) Fie  şi  . Să determinăm c.m.m.d.c. al lui  şi  . Avem succesiv:
 , unde 
 , unde 
 , unde 
Deci  .
Avem 
 şi deci  , unde  şi 
|