 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
2) Fie  şi  . Să arătăm că  şi  sunt prime între ele. Avem succesiv:
 , unde 
 , unde 
 , unde 
 , unde 
Deci 
Avem 
 , deci  , unde  şi  . Înmulţind ambii membri cu  , obţinem  , unde  şi  .
(5.)
Rădăcinile unui polinom. Proprietăţi:
Fie  un corp comutativ şi  un polinom din  . Elementul  este o rădăcină a lui  dacă  .
Teorema 9: Fie  un corp comutativ,  un polinom din  şi  un element din  . Atunci există un unic polinom  din  astfel încât  .
Demonstraţie:
Din teorema împărţirii cu rest rezultă că există  şi  din  , unice, astfel încât  , unde  . Cum  , rezultă  . Deci  şi  , de unde  . Aşadar,  .
Corolar: (Teorema lui Bezout). Fie  un corp comutativ şi  un polinom din  . Elementul  este o rădăcină a lui  dacă şi numai dacă  divide  .
SCHEMA LUI HORNER:
Fie  . Teorema împărţirii cu rest a lui  la  se scrie:  , unde câtul  este un polinom de grad  , iar restul  .
Dacă  , atunci 
 , de unde: 
 .
|