 Optiuni  Inapoi la biblioteca |
Inele de polinoame. Proprietati aritmetice
Autor: Dana Schiopu
Descriere: articol pentru Clasa a XII-a publicat in data de 06 Feb 2008, nivel de dificultate  .
Polinoame cu coeficienti complecsi. Definirea sumei si a produsului a doua polinoame. Inelul polinoamelor peste un inel comutativ. Unitati intr-un inel de polinoame. Valoarea unui polinom. Functie polinomiala. Teorema impartirii cu rest; exemple. Divizibilitatea in inele de polinoame. Cel mai mare divizor comun a doua polinoame. Polinoame prime intre ele. Radacinile unui polinom; teorema lui Bezout; schema lui Horner; exemple.
Domenii: ---
Soluţie: Restul împărţirii lui  la  este un polinom de grad mai mic ca  , fie acesta  . Atunci teorema împărţirii cu rest a lui  prin  se scrie  , unde  este câtul.Atunci  şi  , unde  şi  . Deci  . De aici rezultă că dacă  şi  sunt două rădăcini distincte ale lui  , atunci polinomul  divide  .
2. Fie  un corp comutativ infinit (de exemplu  poate fi  sau  ),  polinoame din  şi  funcţiile polinomiale asociate. Atunci  dacă şi numai dacă  .
Soluţie: Dacă  este clar că  . Fie acum  astfel încât  . Dacă  , atunci  , oricare ar fi  . Deoarece  , oricare  fiind infinit, din corolarul precedent rezultă  , adică  .
3. (Teorema lui Wilson).
Dacă  este un număr prim, atunci  (modp).
Soluţie: Fie corpul  şi polinomul  . Cum pentru orice  din  , rezultă că rădăcinile polinomului  sunt  . Conform corolarului precedent, avem  . Cum  este prim, dacă  , atunci  este impar şi deci  , iar  . Dacă  , atunci  . Prin urmare,  , de unde  , adică  (modp).
|