Combinari

COMBINĂRI

Fie mulţimea . Vom scrie toate submulţimile mulţimii (toate mulţimile ce pot fi formate cu elemente ale mulţimii ).

Aceste submulţimi sunt:

1) mulţimea vidă :

2) submulţimile care au câte un element sunt

3) submulţimile care au câte două elemente sunt

4) submulţimea cu trei elemente (mulţimea totală) este .

mulţimea are submulţimi, dintre care: trei submulţimi cu câte un element, trei submulţimi cu câte două elemente, o submulţime cu trei elemente şi mulţimea vidă.

Generalizând, fiind dată o mulţime finită cu elemente, atunci vrem să determinăm numărul submulţimilor sale cu elemente.

Definiţie

Dacă este o mulţime cu elemente, atunci submulţimile lui având câte elemente, , se numesc combinări de elemente luate câte şi se notează

Din exemplul anterior

Suma submulţimilor mulţimii este

.

Vrem să determinăm o formulă pentru calculul combinărilor de luate câte .

Se observă că , deoarece fiecare mulţime are doar o submulţime fără nici un element, adică mulţimea vidă.

deoarece pentru o mulţime cu elemente numărul submulţimilor cu un element este

Teoremă:

Dacă , atunci

Demonstraţie

Fie o mulţime cu elemente. Fie toate submulţimile lui care au elemente. Dacă ordonăm fiecare dintre aceste submulţimi în toate modurile posibile, obţinem toate submulţimile ordonate ale lui , care au elemente. Numărul acestor submulţimi este: . Dar numărul tuturor submulţimilor lui cu elemente este este egal cu şi fiecare dintre aceste submulţimi poate fi ordonată în moduri

Dar şi

Materiale Didactice Asemanatoare