Combinari

Exemplu:

În câte moduri se poate alcătui din 9 persoane o comisie formată din 5 membri?

Soluţie:

Pentru a avea toate cazurile posibile trebuie să considerăm toate submulţimile formate din câte 5 elemente ale unei submulţimi cu 9 elemente

COMBINĂRI COMPLEMENTARE. NUMĂRUL TUTUROR COMBINĂRILOR SUBMULŢIMILOR UNEI MULŢIMI CU ELEMENTE

1. Formula combinărilor complementare:

Dacă atunci este adevărată egalitatea:

Demonstraţie.

Din formula

Sensul acestei afirmaţii este următorul:

Dacă este o mulţime cu elemente, fiecărei submulţimi cu elemente a lui îi asociem o submulţime bine determinată cu elemente a mulţimii , anume (complementara lui ).

Prin această asociere, unei submulţimi cu elemente îi corespunde o singură submulţime cu elemente.

Ceea ce înseamnă că numărul submulţimilor cu elemente a unei mulţimi este egal cu numărul submulţimilor cu elemente.

2. Pentru orice număr natural este adevărată egalitatea:

(numărul submulţimilor unei mulţimi cu elemente).

Demonstraţie:

Suma din membrul stâng al egalităţii reprezintă numărul tuturor submulţimilor unei submulţimi cu elemente. Egalitatea anterioară se va demonstra prin inducţie:

Numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu elemente este egal cu .

Pentru adevărată deoarece submulţimea vidă are o singură submulţime, anume ea însăşi.

Dacă o mulţime cu elemente are submulţimi vom arăta că o mulţime cu elemente are submulţimi.

Fie o mulţime cu elemente şi

adevărată are submulţimi. Din fiecare submulţime a lui se obţine o nouă submulţime a lui prin adăugarea elementului se obţin încă submulţimi ale lui are în total submulţimi.

Materiale Didactice Asemanatoare